Question

讨论函数y=ax²-2（3a+1）x+3在[-3，3]上的单调性．

Answer 1

分析：先对字母a的取值进行分类讨论：：①当a=0时；②当a＞0时；③当a＜0时．再针对二次函数图象，找对称轴，利用开口向上（或向下）的二次函数在对称轴右边递增（减），左边递减（增）即可研究其单调性．

解答：解：①当a=0时，y=-2x+3，是一次函数，在[-3，3]上单调递减；
②当a＞0时，函数y=ax²-2（3a+1）x+3的图象是对称轴为x=3+

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a

＞3，开口向上的抛物线，
所以在[-3，3]上是减函数；
③当a＜0时，函数y=ax²-2（3a+1）x+3的图象是对称轴为x=3+

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a

＜3，开口向下的抛物线，
（i）当-

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6

≤a＜0时，函数y=ax²-2（3a+1）x+3的图象是对称轴为x=3+

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a

≤-3，开口向下的抛物线，
所以在[-3，3]上是减函数；
（ii）当a＜-

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6

时，函数y=ax²-2（3a+1）x+3的图象是对称轴为x=3+

1

a

∈[-3，3]，开口向下的抛物线，
所以在[-3，3+

1

a

]上是增函数；在（3+

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a

，3]上是减函数；
综上，a≥-

1

6

时，在[-3，3]上是减函数；当a＜-

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6

时，在[-3，3+

1

a

）上是增函数；在（3+

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a

，3]上是减函数．

点评：本题主要考查了二次函数的单调性，二次函数的单调区间有对称轴和开口方向二者决定，开口向上的二次函数在对称轴右边递增，左边递减；开口向下的二次函数在对称轴左边递增，右边递减．