Question

已知函数f（x）=ax²+4x-2满足对任意x₁，x₂∈R且x₁≠x₂，都有f(

x1+x2

2

)＜

f(x1)+f(x2)

2

．
（1）求实数a的取值范围；（2）试讨论函数y=f（x）在区间[-1，1]上的零点的个数．

Answer 1

分析：（1）先将 f(

x1+x2

2

)＜

f(x1)+f(x2)

2

用函数f（x）的表达式表示出来，再进行化简得：-

a

4

(x1-x2)2＜0，由此式即可求得实数a的取值范围；
（2）a＞0，△=16+8a＞0，
当0＜a≤6时，f（1）=a+2＞0，f（-1）≤0，函数y=f（x）在区间[-1，1]上有1个零点；a＞6时，

a＞0 -1＜- 4 2a ＜1 f(1)=a+4-2＞0 f(-1)=a-4+2＞0

，函数y=f（x）在区间[-1，1]上有2个零点．

解答：解：（1）∵f(

x1+x2

2

)-

f(x1)+f(x2)

2

=a(

x1+x2

2

)2+b(

x1+x2

2

)+c-

ax12+bx1+c+ax22+bx2+c

2

=-

a

4

(x1-x2)2＜0，
∵x₁≠x₂，∴a＞0．∴实数a的取值范围为（0，+∞）．
（2）∵a＞0，
∴△=16+8a＞0，
①a＞0时，f（1）=a+2＞0，
当0＜a≤6时，总有f（-1）≤0，
故0＜a≤6时，函数y=f（x）在区间[-1，1]上有1个零点；
②a＞6时，

a＞0 -1＜- 4 2a ＜1 f(1)=a+4-2＞0 f(-1)=a-4+2＞0

，
故a＞6时，函数y=f（x）在区间[-1，1]上有2个零点．
综上所述，0＜a≤6时，函数y=f（x）在区间[-1，1]上有1个零点；
a＞6时，函数y=f（x）在区间[-1，1]上有2个零点．

点评：本小题主要考查函数单调性的应用、函数奇偶性的应用、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于难题．