Question

已知数列{a_n}中，a₁=2，a₂=4，x=

2

是函数f（x）=a_n-1x³-3[3a_n-a_n+1]x+1（n≥2）的一个极值点．
（I）证明：数列{a_n+1-a_n}是等比数列；
（II）求数列{a_n}的通项公式；
（III）设b_n=a_n-1，Sn=

a1

b1b2

+

a2

b2b3

+…+

an

bnbn+1

，求证：

2

3

≤Sn＜1．

Answer 1

分析：（I）根据x=

2

是函数f（x）的极值点，利用导数知识得出f（

2

）=0，即a _n+1=3a_n-2a _n-1（n≥2）从而构造出

a n+1-a n

a n-a n-1

=2即可证明{a _n+1-a_n}是等比数列；
（II）由（I）得{a _n+1-a_n}是等比数列是等比数列，首项为2，根据等比数列的通项公式得：a _n+1-a_n=2ⁿ   利用数列求得即可求数列{a_n}的通项公式
（III）由（II）得b_n=2ⁿ-1结合拆项

an

bnbn+1

=

2n

(2n-1)(2n+1-1)

=

1

2n-1

-

1

2n+1-1

利用拆项法求和Sn，最后结合数列的单调性即可证明

2

3

≤Sn＜1．

解答：解：（I）∵x=

2

是函数f（x）的极值点，
∴f（

2

）=0，即a _n+1=3a_n-2a _n-1（n≥2）…（2分）

a n+1-a n

a n-a n-1

=2
∴{a _n+1-a_n}是等比数列；
（I）{a _n+1-a_n}是等比数列是等比数列，首项为2，∴a _n+1-a_n=2ⁿ   …（6分）
∴a_n=a₁+（a₂-a₁）+…+（a_n-a _n-1）=2+2¹+…+2 ^n-1=2ⁿ    …（9分）
（III）∵a_n=2ⁿ，∴b_n=2ⁿ-1∵

an

bnbn+1

=

2n

(2n-1)(2n+1-1)

=

1

2n-1

-

1

2n+1-1

…（11分）
∴Sn=

1

21-1

-

1

22-1

+

1

22-1

-

1

23-1

+…+

1

2n-1

-

1

2n+1-1

=1-

1

2n+1-1

，n越大，Sn越大，且当n=1时，Sn=

2

3

∴

2

3

≤Sn＜1…（14分）

点评：本小题主要考查等比数列、数列与不等式的综合、数列求和等基础知识，考查运算求解能力，化归与转化思想．属于基础题．