Question

已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为1，动点P在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁表面上运动，且PA=r（0＜r＜

3

），记点P的轨迹的长度为f（r），则f(

1

2

)=______．（填上所有可能的值）．

Answer 1

如图所示：①当0＜r≤1时，f（r）=3×

π

2

×r=

3π

2

r；∴f(

1

2

)=

3π

4

．此时，由一次函数的单调性可得：0＜f(r)≤

3π

2

＜5．
②当1＜r≤

2

时，在平面ABCD内，设以点A为圆心，r为半径的圆弧与BC、CD分别交于点E、F，则cos∠DAF=

1

r

，∠EAF=

π

2

-2∠DAF，
∴cos∠EAF=sin2∠DAF=2×

1-( 1 r )2

×

1

r

=

2 r2-1

r2

，cos∠EAG=

2r2-( 2 r2-1 )2

2r2

=

1

r2

，
∴f（r）=3rarccos

2 r2-1

r2

+3rayccos

1

r2

；
③当

2

＜r＜

3

时，∵CM=

r2-2

，∴C1M=C1N=1-

r2-2

，∴cos∠MAN=

2r2-[ 2 (1- r2-2 )]2

2r2

=

1+2 r2-2

r2

，
∴f（r）=3rarccos

1+2 r2-2

r2

．
综上可知：当0＜r≤1时，f(r)=

3π

2

r；当1＜r≤

2

时，f（r）=3rarccos

2 r2-1

r2

+3rayccos

1

r2

；当

2

＜r＜

3

时，∴f（r）=3rarccos

1+2 r2-2

r2

．
根据以上解析式及图性和对称性可得f（r）的图象：
由图象不难看出：函数y=f（r）与y=k的交点个数分别为，0，2，3，4．
故答案为f(

1

2

)=

3π

4

．关于r的方程f（r）=k的解的个数可能为0，2，3，4．