Question

在长方体ABCD—A₁B₁C₁D₁中，AB=a,BC=b,CC₁=c(a≠b)，求AC与BD₁间的距离及所成角的余弦值.

Answer 1

解：如下图，建立空间直角坐标系，

则B(0,0,0)，C（b，0，0），A（0，a，0），D₁（b,a,c），=（b,a,c），=(-b,a,0），

又设n=(1,λ,μ),同时与及垂直，

则由n·=b+aλ+cμ=0,n·=-b+aλ=0,

所以λ=,μ=.

所以n=(1,,).

故所求距离为d=|·|,因为=（b,0,0）.

所以·n=b.

又n=,

所以d=

=

因为·=-b²+a²,||=,||=,

∴cosθ=

=.