题目内容

已知点A（6，3）和F（3，0），M为椭圆 $数学公式$ 上的点，则5|MF|-3|MA|的最大值为________．

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分析：先计算椭圆的离心率、右准线方程，再利用椭圆的第二定义，将所求最大值问题转化为求M到右准线的距离减M到定点A的距离的最大值，最后数形结合找到M的位置，求得最值
解答：

∵椭圆方程为 $\text{[math]}$ ，∴a=5，b=4，∴c=3
∴F（3，0）为椭圆的右焦点，椭圆的离心率e= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，右准线方程为x= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
设M到右准线x= $\text{[math]}$ 的距离为d，则 $\text{[math]}$ ，即d= $\text{[math]}$ |MF|
∴5|MF|-3|MA|=3（ $\text{[math]}$ |MF|-|MA|）=3（ $\text{[math]}$ |MF|-|MA|）=3（d-|MA|）
而由图可知，当点M与点A共线时，d-|MA|取得最大值为点A到右准线的距离 $\text{[math]}$ -6= $\text{[math]}$
∴5|MF|-3|MA|=3（d-|MA|）的最大值为3× $\text{[math]}$ =7
故答案为 7
点评：本题考查了椭圆的第二定义的应用，椭圆的标准方程及其几何性质，转化化归和数形结合的思想方法