Question

已知圆C：x²+y²-4x-14y+45=0．
（1）若M（x，y）为圆C上任一点，求K=

y-3

x-6

的最大值和最小值；
（2）已知点N（-6，3），直线kx-y-6k+3=0与圆C交于点A、B，当k为何值时

NA

•

NB

取到最小值．

Answer 1

分析：（1）由K=

y-3

x-6

可得kx-y-6k+3=0，由题意可得d=

|2k-7-6k+3|

1+k2

≤2

2

，解不等式可求
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），把直线kx-y-6k+3=0与椭圆方程联立，结合方程的思想可求k的范围，及x₁+x₂，x₁x₂，然后代入向量的数量积的坐标表示可求

NA

•

NB

，结合k的范围可求

解答：解：（1）由题意可得⊙C：（x-2）²+（y-7）²=8
由K=

y-3

x-6

可得kx-y-6k+3=0
∴d=

|2k-7-6k+3|

1+k2

≤2

2

解可得-2-

3

≤k≤-2+

3

∴Kmax=-2+

3

，Kmin=-2-

3

（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
把直线kx-y-6k+3=0与椭圆方程联立可得（1+k²）x²-4（3k²+2k+1）x+12（3k²+4k+1）=0

△≥0可得-2-

3

≤k≤-2+

3

∴x₁+x₂=

4(3k2+2k+1)

1+k2

，x₁x₂=

12(3k2+4k+1)

1+k2

∵kx-6k+3=y
∴y₁+y₂=k（x₁+x₂）+6-12k，y₁y₂=（kx₁+3-6k）（kx₂+3-6k）

NA

•

NB

=（x₁+6）（x₂+6）+（y₁-3）（y₂-3）
=x₁x₂+6（x₁+x₂）+36+y₁y₂-3（y₁+y₂）+9
=(1+k2)x1x2+(6-6k2)(x1+x2)+36（1+k²）
=24[7+

4(k-1)

1+k2

]
=24[7+

1

(k-1)+ 2 k-1 +2

]
当且仅当k-1=

2

k-1

即k=1-

2

时

NA

•

NB

取到最小值

点评：本题主要考查了斜率的几何意义的应用，点到直线的距离公式的应用，直线与椭圆相交关系的综合应用，还考查了一定 的计算推理的能力