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当a0，a1，a2成等差数列时，有a0－2a1＋a2＝0，当a0，a1，a2，a3成等差数列时，有a0－3a1＋3a2－a3＝0，当a0，a1，a2，a3，a4成等差数列时，有a0－4a1＋6a2－4a3＋a4＝0，由此归纳：当a0，a1，a2……an成等差数列时有＝0．如果a0，a1，a2……an成等比数列，类比上述方法归纳出的等式为________．

答案：
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21、对于每项均是正整数的数列A：a1，a2，…，an，定义变换T1，T1将数列A变换成数列T1（A）：n，a1-1，a2-1，…，an-1．
对于每项均是非负整数的数列B：b1，b2，…，bm，定义变换T2，T2将数列B各项从大到小排列，然后去掉所有为零的项，得到数列T2（B）；
又定义S（B）=2（b1+2b2+…+mbm）+b12+b22+…+bm2．设A0是每项均为正整数的有穷数列，令Ak+1=T2（T1（Ak））（k=0，1，2，…）．
（Ⅰ）如果数列A0为5，3，2，写出数列A1，A2；
（Ⅱ）对于每项均是正整数的有穷数列A，证明S（T1（A））=S（A）；
（Ⅲ）证明：对于任意给定的每项均为正整数的有穷数列A0，存在正整数K，当k≥K时，S（Ak+1）=S（Ak）．
当a0，a1，a2成等差数列时，有a0+2a1-a2=0，当a0，a1，a2，a3成等差数列时，有a0-3a1+3a2-a3=0，当a0，a1，a2，a3，a4成等差数列时，有a0-4a1+6a2-4a3+a4=0，由此归纳：当a0，a1，a2，…an成等差数列时有Cn0a0-Cn1a1+Cn2a2-…+（-1）nCnnan=0，如果a0，a1，a2，…an成等比数列，类比上述方法归纳出的等式为
 
．
（2013•镇江一模）一位幼儿园老师给班上k（k≥3）个小朋友分糖果．她发现糖果盒中原有糖果数为a0，就先从别处抓2块糖加入盒中，然后把盒内糖果的
1
2
分给第一个小朋友；再从别处抓2块糖加入盒中，然后把盒内糖果的
1
3
分给第二个小朋友；…，以后她总是在分给一个小朋友后，就从别处抓2块糖放入盒中，然后把盒内糖果的
1
n+1
分给第n（n=1，2，3，…k）个小朋友．如果设分给第n个小朋友后（未加入2块糖果前）盒内剩下的糖果数为an．
（1）当k=3，a0=12时，分别求a1，a2，a3；
（2）请用an-1表示an；令bn=（n+1）an，求数列{bn}的通项公式；
（3）是否存在正整数k（k≥3）和非负整数a0，使得数列{an}（n≤k）成等差数列，如果存在，请求出所有的k和a0，如果不存在，请说明理由．
对于每项均是正整数的数列A：a1，a2，…，an，定义变换T1，T1将数列A变换成数列
T1（A）：n，a1-1，a2-1，…，an-1
对于每项均是非负整数的数列B：b1，b2，…，bm，定义变换T2，T2将数列B各项从大到小排列，然后去掉所有为零的项，得到数列T2（B）；
又定义S（B）=2（b1+2b2+…+mbm）+b12+b22+…+bm2
设A0是每项均为正整数的有穷数列，令Ak+1=T2（T1（Ak））（k=0，1，2，…）。
（1）如果数列A0为5，3，2，写出数列A1，A2；
（2）对于每项均是正整数的有穷数列A，证明S（T1（A））=S（A）；
（3）证明：对于任意给定的每项均为正整数的有穷数列A0，存在正整数K，当k≥K时，S（Ak+1）=S（Ak）。

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