题目内容

已知函数 $数学公式$
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期及在区间 $数学公式$ 上的最大值和最小值；
（Ⅱ）若 $数学公式$ ，求cos2x₀ 的值．

解：（1）由题知： $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
所以函数f（x）的最小正周期为π．…（5分）
因为 x∈ $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ ∈ $\text{[math]}$ ．…（7分）
故当2x+ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ 时，函数f（x）取得最小值为- $\text{[math]}$ ；当2x+ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ 时，函数f（x）取得最大值为1，故函数在区间 $\text{[math]}$ 上的最大值为1，最小值为 $\text{[math]}$ ．．…（9分）
（Ⅱ）由（1）可知 $\text{[math]}$ ，又因为 $\text{[math]}$ ，
所以 $\text{[math]}$ ，由 $\text{[math]}$ ，得 2x₀+ $\text{[math]}$ ∈[ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ]，
从而 $\text{[math]}$ ．…（12分）
所以 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$ ． …（15分）
分析：（1）利用两角和差的正弦化简函数f（x）的解析式为 $\text{[math]}$ ，由此求得函数的最小正周期，再根据 $\text{[math]}$ ∈ $\text{[math]}$ ，求得函数的最大值和最小值．
（Ⅱ）由（1）可知 $\text{[math]}$ ，再根据 2x₀+ $\text{[math]}$ 的范围利用同角三角函数的基本关系求得 $\text{[math]}$ 的值，再根据 $\text{[math]}$ ，利用两角差
的余弦公式求得结果．
点评：本题主要考查两角和差的正弦和余弦公式、二倍角公式、同角三角函数的基本关系的应用，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．