Question

椭圆焦点在x轴上，A为该椭圆右顶点，P在椭圆上一点，∠OPA=90°，则该椭圆的离心率e的范围是（　　）

• A、[

  1

  2

  ，1）
• B、（

  2

  2

  ，1）
• C、[

  1

  2

  ，

  6

  3

  ）
• D、（0，

  2

  2

  ）

Answer 1

分析：可设椭圆的标准方程为：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）．设P（x，y），由于∠OPA=90°，可得点P在以OA为直径的圆上．该圆为：(x-

a

2

)2+y2=(

a

2

)2，化为x²-ax+y²=0．与椭圆的方程联立可得：（b²-a²）x²+a³x-a²b²=0，得到ax=

-a2b2

b2-a2

，解得x=

ab2

c2

，由于0＜x＜a，可得0＜

ab2

c2

＜a，解出即可．

解答：解：可设椭圆的标准方程为：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）．
设P（x，y），∵∠OPA=90°，∴点P在以OA为直径的圆上．
该圆为：(x-

a

2

)2+y2=(

a

2

)2，化为x²-ax+y²=0．
联立

x2-ax+y2=0 x2 a2 + y2 b2 =1

化为（b²-a²）x²+a³x-a²b²=0，
则ax=

-a2b2

b2-a2

，解得x=

ab2

c2

，
∵0＜x＜a，∴0＜

ab2

c2

＜a，
化为c²＞b²=a²-c²，
∴e2＞

1

2

，又1＞e＞0．
解得

2

2

＜e＜1．
∴该椭圆的离心率e的范围是(

2

2

，1)．
故选：C．

点评：本题考查了椭圆与圆的标准方程及其性质，考查了分析问题和解决问题的能力，属于难题．