Question

已知函数f（x）=x²+2x-3，集合M={（x，y）|f（x）+f（y）≤0}，N={（x，y）|f（x）-f（y）＞0}，则M∩N的面积是（　　）

• A．2π
• B．

  7

  2

  π
• C．4π
• D．6π

Answer 1

分析：根据f（x）的表达式，分别化简集合M、N的不等式，得到集合M表示以（1，1）为圆心、半径为2

2

的圆及其内部，集合N的图形是直线x-y=0和直线x+y-2=0相交，位于左右两部分的平面区域．由此利用圆的面积公式加以计算，可得M∩N对应图形的面积．

解答：解：∵f（x）=x²-2x-3，
∴集合M={（x，y）|f（x）+f（y）≤0}
={（x，y）|x²+y²-2x-2y-6≤0}，
又∵方程x²+y²-2x-2y-6=0即（x-1）²+（y-1）²=8，
表示以（1，1）为圆心、半径为2

2

的圆．
∴集合M表示以（1，1）为圆心、半径为2

2

的圆及其内部．
又∵N={（x，y）|f（x）-f（y）≥0}={（x，y）|x²-y²-2（x-y）≥0}
={（x，y）|（x-y）（x+y-2）≥0}，
∴集合N对应的图形是直线x-y=0和直线x+y-2=0相交，位于左右两部分的平面区域．
因此，集合M∩N的区域是如图所示的阴影部分，它的面积是半径为2

2

的圆的面积的一半．
∴集合M∩N的面积S=

1

2

•π•(2

2

)2=4π．
故选：C

点评：本题给出二次函数，求两个不等式组成的不等式组对应的平面区域的面积．着重考查了圆的标准方程、直线与圆的位置关系、不等式的解法与圆面积公式等知识，属于中档题．