Question

如图，AB是圆O的直径，C，D是圆O上两点，AC与BD相交于点E，GC，GD是圆O的切线，点F在DG的延长线上，且.求证：（1）D、E、C、F四点共圆；（2）.

Answer 1

（1）证明过程详见解析；（2）证明过程详见解析.

试题分析：本题主要以圆为几何背景考查四点共圆问题，线线垂直的证明，考查学生的转化与化归能力.第一问，利用切线的性质得出，，利用圆心角和圆周角的关系得出，，通过角之间转化得出，所以四点共圆；第二问，通过边长相等，确定四点所在圆的圆心为，利用半径相等得出在等腰三角形，所以，通过角之间的转化，证出，所以．  
试题解析：（Ⅰ）如图，连结，，则，，
设，，，
，．
所以．                    …3分
因为，所以．
又因为，
所以，所以四点共圆．           …5分

（Ⅱ）延长交于．
因为，所以点是经过四点的圆的圆心．
所以，所以．                       …8分
又因为，，
所以，所以，
所以，即．                          …10分