题目内容

已知函数f（x）=x4+ax3+bx2+cx+d（a，b，c，d为实常数）的图象经过三点A(2，  
1
2
)，B(3，
1
3
)，C(4，
1
4
)，则f（1）+f（5）的值等于（　　）
分析：由已知，设g(x)=(f(x)-
1
x
)x=x5+ax4+bx3+cx2+dx-1=(x-2)(x-3)(x-4)(x2+mx+
1
24
)所以f(x)=
(x-2)(x-3)(x-4)(x2+mx+
1
24
)
x
+
1
x
，由此能求出f（1）+f（5）的值．
解答：解：由已知，
设g(x)=(f(x)-
1
x
)x=x5+ax4+bx3+cx2+dx-1
=(x-2)(x-3)(x-4)(x2+mx+
1
24
)
所以f(x)=
(x-2)(x-3)(x-4)(x2+mx+
1
24
)
x
+
1
x
，
f(1)=-6(
25
24
+m)+1=-
21
4
-6m，f(5)=
6(25
1
24
+5m)
5
+
1
5
=
121
4
+6m，
所以f（1）+f（5）=25，
故选D．
点评：本题考查函数值的求法，综合性强，难度大，容易出错．解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．
练习册系列答案
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精英家教网已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（x∈R，A＞0，ω＞0，|φ|＜
π
2
）的部分图象如图所示，则f（x）的解析式是（　　）
A、f(x)=2sin(πx+
π
6
)(x∈R)
B、f(x)=2sin(2πx+
π
6
)(x∈R)
C、f(x)=2sin(πx+
π
3
)(x∈R)
D、f(x)=2sin(2πx+
π
3
)(x∈R)
（2012•深圳一模）已知函数f(x)=
1
3
x3+bx2+cx+d，设曲线y=f（x）在与x轴交点处的切线为y=4x-12，f′（x）为f（x）的导函数，且满足f′（2-x）=f′（x）．
（1）求f（x）；
（2）设g(x)=x
f′(x)
 ， m＞0，求函数g（x）在[0，m]上的最大值；
（3）设h（x）=lnf′（x），若对一切x∈[0，1]，不等式h（x+1-t）＜h（2x+2）恒成立，求实数t的取值范围．
（2011•上海模拟）已知函数f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2，x∈(0，+∞)，其中0＜a＜b．
（1）当a=1，b=2时，求f（x）的最小值；
（2）若f（a）≥2m-1对任意0＜a＜b恒成立，求实数m的取值范围；
（3）设k、c＞0，当a=k2，b=（k+c）2时，记f（x）=f1（x）；当a=（k+c）2，b=（k+2c）2时，记f（x）=f2（x）．
求证：f1(x)+f2(x)＞
4c2
k(k+c)
．
已知函数f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2，x∈(0，+∞)，其中0＜a＜b．
（1）当a=1，b=2时，求f（x）的最小值；
（2）若f（a）≥2m-1对任意0＜a＜b恒成立，求实数m的取值范围；
（3）设k、c＞0，当a=k2，b=（k+c）2时，记f（x）=f1（x）；当a=（k+c）2，b=（k+2c）2时，记f（x）=f2（x）．
求证：f1(x)+f2(x)＞
4c2
k(k+c)
．
已知函数f(x)=
1
3
x3+bx2+cx+d，设曲线y=f（x）在与x轴交点处的切线为y=4x-12，f′（x）为f（x）的导函数，且满足f′（2-x）=f′（x）．
（1）求f（x）；
（2）设g(x)=x
f′(x)
 ， m＞0，求函数g（x）在[0，m]上的最大值；
（3）设h（x）=lnf′（x），若对一切x∈[0，1]，不等式h（x+1-t）＜h（2x+2）恒成立，求实数t的取值范围．

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