题目内容

国庆长假期间小明去参观画展，为了保护壁画，举办方在壁画前方用垂直于地面的透明玻璃幕墙与观众隔开，小明在一幅壁画正前方驻足观看．如图是小明观看该壁画的纵截面示意图，已知壁画高度AB是2米，壁画底端与地面的距离BO是1米，玻璃幕墙与壁画之间的距离OC是1米．若小明的身高为a米（0＜a＜3），他在壁画正前方x米处观看，问x为多少时，小明观看这幅壁画上下两端所成的视角θ最大？

分析：通过0＜a＜1，1＜a＜3且a≠2，分别求出tanθ，构造函数通过函数的单调性求出函数的最大值，说明视角最大．

解答：（本小题满分16分）
解：因为y=tanx在x∈（0，

π

2

）是增函数，
（1）当0＜a＜1时，如图1，tanθ=tan（α-β）=

3-a

x

-

1-a

x

1+

(1-a)(3-a)

x2

=

2

x+

(1-a)(3-a)

x

，
令函数f（x）=x+

(1-a)(3-a)

x

，可证明函数f（x）在（0，

(1-a)(3-a)

）是单调减函数，
在(

(1-a)(3a)

，+∞)是单调增函数．
若

(1-a)(3-a)

≤1时，即2-

2

≤a＜1时，
f（x）在[1，+∞）上是增函数，此时当x=1时tanθ取得最大值，则视角θ最大．
若

(1-a)(3-a)

＞1时，即0＜a＜2-

2

，
①当x=

(1-a)(3-a)

时，tanθ取得最大值，则视角θ最大．
②当a=1时，tanθ=

2

x

（x≥1），当x=1时tanθ取得最大值，则视角θ最大．
（2）当1＜a＜3且a≠2时如图2，
tanθ═tan（α+β）=

3-a

x

+

a-1

x

1-

(a-1)(3-a)

x2

=

2

x-

(a-1)(3-a)

x

，
令g（x）=x-

(a-1)(3-a)

x

，
在[1，+∞）上是增函数，所以当x=1时，y_max＞0，tanθ＞0，故θ为锐角．
∴当x=1时，g（x）取得最小值，tanθ取得最大值，则视角θ最大．
综上：当2-

2

≤a＜3时，且x=1时，视角θ最大；
当0＜a＜2-

2

，时，且x=

(1-a)(3-a)

时，视角θ最大．

点评：本题考查解三角形的实际应用，考查函数的单调性的应用，分类讨论思想，计算能力．

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某城市有甲,乙,丙三个儿童公园.“五一”期间,小明同学去这三个公园的概率分别为,,,且他是否去哪个公园相互之间没有影响.设ξ表示在“五一”期间小明去儿童公园的个数(每个公园至多去一次).

(1)求ξ的概率分布及数学期望;

(2)记“函数f(x)=x²-2ξx在区间（-∞,2］上单调递减”为事件m,求P(m).

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