题目内容
已知函数f（x）=x3-x2+
，且存在x0∈（0，
），使f（x0）=x0
（1）证明：f（x）是R上的单调增函数；
（2）设x1=0，xn+1=f（xn）；y1=
，yn+1=f（yn），其中n=1，2，…证明：xn＜xn+1＜x0＜yn+1＜yn；
（3）证明：
。
，且存在x0∈（0，），使f（x0）=x0（1）证明：f（x）是R上的单调增函数；
（2）设x1=0，xn+1=f（xn）；y1=
，yn+1=f（yn），其中n=1，2，…证明：xn＜xn+1＜x0＜yn+1＜yn；（3）证明：
。解：（1）∵
∴f（x）是R上的单调增函数。
（2）∵
即
又f（x）是增函数
∴
即
又
综上，
。
用数学归纳法证明如下：
（i）当n=1时，上面已证明成立；
（ii）假设当n=k （k≥1）时有
当n=k+1时，由f（x）是单调增函数，有
∴
由（i）和（ii）对一切n=1，2，…，都有
。
（3）
由（2）知，
∴
∴
。
∴f（x）是R上的单调增函数。
（2）∵
即
又f（x）是增函数
∴
即
又
综上，
。用数学归纳法证明如下：
（i）当n=1时，上面已证明成立；
（ii）假设当n=k （k≥1）时有
当n=k+1时，由f（x）是单调增函数，有
∴
由（i）和（ii）对一切n=1，2，…，都有
。（3）
由（2）知，
∴
∴
。
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