Question

某地发生特大地震和海啸，使当地的自来水受到了污染，某部门对水质检测后，决定往水中投放一种药剂来净化水质．已知每投放质量为m的药剂后，经过x天该药剂在水中释放的浓度y（毫克/升）满足y=mf(x)，其中f(x)=

x 4 +2(0＜x≤4) 6 x-2 (x＞4)

，当药剂在水中释放的浓度不低于4（毫克/升）时称为有效净化；当药剂在水口释放的浓度不低于4（毫克/升）且不高于10（毫克/升）时称为最佳净化．
（1）如果投放的药剂质量为m=4，试问自来水达到有效净化一共可持续几天？
（2）如果投放的药剂质量为m，为了使在7天（从投放药剂算起包括7天）之内的自来水达到最佳净化，试确定该投放的药剂质量m的值．

Answer 1

分析：（1）由m=4，且y=m•f（x），可得药剂在水中释放浓度y的函数；因为函数y是分段函数，在求释放浓度不低于4（即y≥4）时，要分区间去求解．
（2）由函数y是分段函数，故分区间讨论函数的单调性，从而求得y的取值范围，即药剂在水中释放浓度的大小；为使最佳净化，即4≤y≤10恒成立，只要使y的取值范围在区间[4，10]内即可，从而解出m的值．

解答：解：（1）因为m=4，所以y=m•f（x）=

x+8  (0＜x≤4) 24 x-2 ( x＞4)

；
所以，当0＜x≤4时，x+8≥4显然成立，当x＞4时，

24

x-2

≥4，得4＜x≤8；综上知，0＜x≤8；
所以，自来水达到有效净化一共可持续8天．
（2）由y=m•f（x）=

mx 4 +2m  (0＜x≤4) 6m x-2          (x＞4)

知，在区间（0，4]上单调递增，即2m＜y≤3m，在区间（4，7]上单调递减，即

6m

5

≤y＜3m，综上知，

6m

5

≤y≤3m；为使4≤y≤10恒成立，只要

6m

5

≥4，且3m≤10即可，即m=

10

3

；
所以，为了使在7天之内的自来水达到最佳净化，该投放的药剂量应为

10

3

．

点评：本题考查了分段函数模型的灵活应用；分段函数求最值时，要在每一个区间上求出最值，再通过比较，得出函数的最值．