Question

【题目】如图，正三棱柱中，（底面为正三角形，侧棱垂直于底面），侧棱长，底面边长，是的中点.

（1）求证：平面平面；

（2）设是线段的中点，求直线与平面所成的角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1） 见解析（2）

【解析】

（1）通过做平行线构造平行四边形，进而得到线面垂直，再由平形四边行的对边平行的性质得到平面内的线垂直于平面内的线，进而得到面面垂直;(2)建立空间坐标系，求直线的方向向量和面的法向量，进而得到线面角.

（1）证明：取中点，的中点为M，连结，MN,则有∥且= ∴四边形为平行四边形，∥

∵面,

∴,又

∴平面故⊥平面.

所以平面平面

(2)如图建立空间直角坐标系，则B(-,0,0),A(,0,0),

因为是线段的中点，所以M

所以

设是平面的一个法向量，因为

所以，由

所以可取