Question

若函数同时满足：（ⅰ）对于定义域内的任意，恒有；（ⅱ）对于定义域内的任意，当时，恒有，则称函数为“二维函数”．现给出下列四个函数：
①；②；③；④
其中能被称为“二维函数”的有_____________（写出所有满足条件的函数的序号）．

Answer 1

④

试题分析：首先明确二维函数的定义，要满足函数是奇函数，同时定义域内递减函数，因此分析函数①，正切函数满足奇函数，但是在定义域内不是递减的，故不是二维函数；
②，由于f(-x)=因此是奇函数，同时利用单调性的性质可知，函数不是递减函数，不满足题意；
③中是非奇非偶函数，不符合题意；
④，
当
当，
故可知是奇函数，同时在定义域内每一段都是减函数，同时在x=0时，函数值为零，符合函数递减性，故④
点评：解决该试题的关键是对于分段函数的分析和应用。注意到分段函数的奇偶性的判定，以及整个函数在定义域内递减时，注意断点的函数值的大小关系。属于中档题。