题目内容
19．已知关于x的方程ex=ax+b（a＞0，b∈R）有相等根，则a+b的最大值为e．分析 若方程ex=ax+b（a＞0，b∈R）有相等根，则等价为y=ax+b是f（x）=ex的切线，求函数的导数，利用导数的几何意义求出切线方程，建立a，b的关系，利用导数研究函数的最值和极值即可得到结论．
解答 解：设函数f（x）=ex，
若方程ex=ax+b（a＞0，b∈R）有相等根，
则等价为y=ax+b是f（x）=ex的切线，
设切点为（x0，${e}^{{x}_{0}}$），
则f′（x）=ex，
则切线斜率k=f′（x0）=${e}^{{x}_{0}}$，
则对应的切线方程为y-${e}^{{x}_{0}}$=${e}^{{x}_{0}}$（x-x0），
即y=${e}^{{x}_{0}}$x+${e}^{{x}_{0}}$（1-x0），
∵y=ax+b是f（x）=ex的切线，
∴a=${e}^{{x}_{0}}$，b=${e}^{{x}_{0}}$（1-x0），
即x0=lna，则b=a（1-lna），
则a+b=a+a（1-lna）=2a-alna，
设g（a）=2a-alna，
则g′（a）=2-（lna+1）=1-lna，
由g′（a）＜0得a＞e，此时函数单调递减，
由g′（a）＞0得0＜a＜e，此时函数单调递增，
即当a=e时，函数g（a）=2a-alna取得极大值同时也是最大值g（e）=2e-elne=2e-e=e，
即a+b的最大值为e，
故答案为：e
点评 本题主要考查函数最值的求解，根据条件转化为求函数的切线问题，利用导数研究函数的极值是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．
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9．椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞b＞0）上存在一点 P满足$∠{A}{P}F=\frac{π}{2}$，F为椭圆的左焦点，A为椭圆的右顶点，则椭圆的离心率的范围是（ ）
| A． | $（{0，\frac{1}{2}}）$ | B． | $（{0，\frac{{\sqrt{2}}}{2}}）$ | C． | $（{\frac{1}{2}，1}）$ | D． | $（{\frac{{\sqrt{2}}}{2}，1}）$ |
10．△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，$\overrightarrow{m}$=$（{a，\sqrt{3}b}）$，$\overrightarrow{n}$=（sinB，cosA），$\overrightarrow{m}$⊥$\overrightarrow{n}$，b=2，$a=\sqrt{7}$，则△ABC的面积为（ ）
| A． | $\sqrt{3}$ | B． | $\frac{{3\sqrt{3}}}{2}$ | C． | $\frac{{\sqrt{3}}}{2}$ | D． | $2\sqrt{3}$ |
如图，已知抛物线C：x2=2py（0＜p＜4），其上一点M（4，y0）到其焦点F的距离为5，过焦点F的直线l与抛物线C交于A，B左、右两点．
4．设点M（0，-5），N（0，5），△MNP的周长为36，则△MNP的顶点P的轨迹方程为（ ）
| A． | $\frac{{y}^{2}}{169}$+$\frac{{x}^{2}}{25}$=1（x≠0） | B． | $\frac{{y}^{2}}{169}$+$\frac{{x}^{2}}{144}$=1（x≠0） | ||
| C． | $\frac{{x}^{2}}{169}$+$\frac{{y}^{2}}{25}$=1（y≠0） | D． | $\frac{{y}^{2}}{169}$+$\frac{{x}^{2}}{25}$=1（y≠0） |
8．已知椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，且|F1F2|=2c，若椭圆上存在点M使得$\frac{a}{sin∠M{F}_{1}{F}_{2}}$=$\frac{c}{sin∠M{F}_{2}{F}_{1}}$，则该椭圆离心率的取值范围为（ ）
| A． | （0，$\sqrt{2}$-1） | B． | （$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1） | C． | （0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$） | D． | （$\sqrt{2}$-1，1） |