题目内容

7.如图,已知抛物线C:x2=2py(0<p<4),其上一点M(4,y0)到其焦点F的距离为5,过焦点F的直线l与抛物线C交于A,B左、右两点.
(Ⅰ)求抛物线C的标准方程;
(Ⅱ)若$\overrightarrow{AF}=\frac{1}{2}\overrightarrow{FB}$,求直线l的方程.

分析 (Ⅰ)利用点在曲线上,以及抛物线的定义,列出方程求解即可.
(Ⅱ)利用方程组$\left\{\begin{array}{l}y=kx+1\\{x^2}=4y\end{array}\right.$,设A(x1,y1),B(x2,y2),通过韦达定理x1+x2,x1x2,利用$\overrightarrow{AF}=\frac{1}{2}\overrightarrow{FB}$,求解即可.

解答 解(Ⅰ)由题意,$\left\{\begin{array}{l}16=2p{y_0}\\ \frac{p}{2}+{y_0}=5\end{array}\right.$,解得p=2或p=8,由题意0<p<4,所以p=2,y0=4.
所以抛物线标准方程为x2=4y.(5分)
(Ⅱ)抛物线的焦点坐标(0,1)直线l的方程的方程为:y=kx+1,
解方程组$\left\{\begin{array}{l}y=kx+1\\{x^2}=4y\end{array}\right.$,消去y,得x2-4kx-4=0,
显然△=16k2+16>0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=4k①,x1x2=-4②
又$\overrightarrow{AF}=\frac{1}{2}\overrightarrow{FB}$,所以$(-{x_1},1-{y_1})=\frac{1}{2}({x_2},{y_2}-1)$,即x2=-2x1
由①②③消去x1,x2,得${k^2}=\frac{1}{8}$,由题意,$k=\frac{{\sqrt{2}}}{4}$
故直线l的方程为$y=\frac{{\sqrt{2}}}{4}x+1$.(7分)

点评 本题考查抛物线方程的求法,仔细与抛物线的综合应用,考查计算能力.

练习册系列答案
相关题目

违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com

精英家教网