题目内容

在抛物线y2=2x上求一点P,使点P到直线x-y+3=0的距离最短并求出距离的最小值.

思路解析：本例解法较多.思路一:设抛物线上一点的坐标,直接利用点到直线的距离公式求出距离,再求距离的最小值,同时有一定的运算量;思路二:先求出与已知直线平行的抛物线的切线l′,再求出切点坐标即可.

解法一：设点P(x0,y0)是y2=2x上任意一点,则点P到直线x-y+3=0的距离为d=,当y0=1时,dmin==.此时，点P的坐标为（，1）.

解法二：设与直线x-y+3=0平行的切线为x-y+t=0,与y2=2x联立消去x得y2-2y+2t=0,由Δ=0可得t=,此时y=1,x=.∴点P的坐标为（，1）.两平行线间的距离就是所求的点P到直线的最小距离为dmin==.

练习册系列答案
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已知正三角形OAB的三个顶点都在抛物线y2=2x上，其中O为坐标原点，设圆C是OAB的内接圆（点C为圆心）
（Ⅰ）求圆C的方程；
（Ⅱ）设圆M的方程为（x-4-7cosθ）2+（y-7cosθ）2=1，过圆M上任意一点P分别作圆C的两条切线PE，PF，切点为E，F，求
CE
•
CF
的最大值和最小值．
已知点P在直线x+y+5=0上，点Q在抛物线y2=2x上，则|PQ|的最小值等于
 
．
（文）圆心在抛物线y2=2x上，且与该抛物线的准线和x轴都相切的圆的方程是（　　）
A、(x-
1
2
)2+(y-1)2=1
B、(x-
1
2
)2+(y±1)2=1
C、(x-
1
2
)2+(y±
1
2
)2=
1
4
D、(x-
1
2
)2+(y+1)2=1
已知点A在抛物线y2=2x上，且到焦点F与到点B（2，1）的距离之和最小，则点A的坐标为
(
1
2
，1)
(
1
2
，1)
．
已知定点A（-3，0），B（3，0），动点P在抛物线y2=2x上的移动，则
PA
•
PB
的最小值等于
 
．

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