Question

已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f(x)满足f＝f(x₁)－f(x₂)，且当x>1时，f(x)<0.

(1)求f(1)的值；

(2)判断f(x)的单调性；

(3)若f(3)＝－1，求f(x)在[2,9]上的最小值．

Answer 1

解：(1)令x₁＝x₂>0，代入得f(1)＝f(x₁)－f(x₁)＝0，故f(1)＝0.

(2)任取x₁，x₂∈(0，＋∞)，且x₁>x₂，

则>1，由于当x>1时，f(x)<0，

所以f<0，即f(x₁)－f(x₂)<0，

因此f(x₁)<f(x₂)，

所以函数f(x)在区间(0，＋∞)上是单调递减函数．

(3)∵f(x)在(0，＋∞)上是单调递减函数．

∴f(x)在[2,9]上的最小值为f(9)．

由f＝f(x₁)－f(x₂)得，

f＝f(9)－f(3)，

而f(3)＝－1，∴f(9)＝－2.

∴f(x)在[2,9]上的最小值为－2.