Question

如图已知两个正四棱锥P—ABCD和Q—ABCD的高分别为1和2，AB=4.

(Ⅰ)证明PQ⊥平面ABCD；

(Ⅱ)求异面直线AQ和PB所成的角；

(Ⅲ)求点P到平面QAD的距离.

Answer 1

解：(Ⅰ)连结AC、BD，设AC∩BD=0,

∵P—ABCD和Q—ABCD都是正四棱锥，

∴PQ⊥平面ABCD，

QO⊥平面ABCD，

    从而P、Q、O三点在一条直线上，

    所以PQ⊥平面ABCD.

    另证(Ⅰ)：取AD的中点M，连结PM、QM，由已知知AD⊥PM，AD⊥QM，

    从而AD⊥平面PQM，∴PQ⊥AD，

    同理PQ⊥AB，故PQ⊥平面ABCD.

(Ⅱ)∵AC、BD的交点O在PQ上，∴P、A、Q、C四点共面，

    取OC的中点N，连结PN，

    因为=,==,∴.

    从而AQ∥PN，故∠BPN(或其补角)是异面直线AQ与PB所成的角，连结BN，

    因为PB==3,

BN=,

PN=,

∴cos∠BPN=.

    从而异面直线AQ与PB所成的角是arccos.

(Ⅲ)由(Ⅰ)知AD⊥平面PQM，∴平面QAD⊥平面PQM.

    过P作PH⊥QM于H，则PH⊥平面QAD.

    连结OM，∵OM=AB=2=OQ,所以∠MQP=45°.

    又PQ=PO+OQ=1+2=3,∴PH=PQsin45°=,

    即点P到平面QAD的距离为.