Question

如图,已知两个正四棱锥P—AB—CD与Q—ABCD的高分别为1和2，AB=4.

(1)证明PQ⊥平面ABCD;

(2)求异面直线AQ和PB所成的角;

(3)求点P到平面QAD的距离.

Answer 1

(1)证明：取AD的中点M,连结PM、QM.

∵P—ABCD与Q—ABCD都是正四棱锥，

∴AD⊥PM，AD⊥QM.

    从而AD⊥平面PQM.

    又PQ平面PQM,

∴PQ⊥AD.

    同理,PQ⊥AB,

∴PQ⊥平面ABCD.

(2)解：连结AC、BC.

    设AC∩BD=O,由PQ⊥平面ABCD及正四棱锥的性质可知O在PQ上,

    从而P、A、Q、C四点共面.

    取OC的中点N,连结PN.

∵，

∴.

    从而AQ∥PN,∠BPN(或其补角)是异面直线AQ与PB所成的角.

    连结BN.

∵PB==3,

PN=,

BN=,

∴cosBPN=.

    从而异面直线AQ与PB所成的角是arccos.

(3)解：由(1)知,AD⊥平面PQM,

∴平面QAD⊥平面PQM.

    过P作PH⊥QM于H,则PH⊥平面QAD.

∴PH的长为点P到平面QAD的距离.

    连结OM，

∵OM=AB=2=OQ,

∴∠MQP=45°.

    又PQ=PO+QO=3，

    于是PH=PQsin45°=,

    即点P到平面QAD的距离是.