Question

（本题满分18分，第1小题满分6分，第2小题满分6分，第3小题

满分6分）

已知函数，如果存在给定的实数对（），使得恒成立，则称为“S-函数”.

（1）判断函数是否是“S-函数”；

（2）若是一个“S-函数”，求出所有满足条件的有序实数对；

（3）若定义域为的函数是“S-函数”，且存在满足条件的有序实数对和，当时，的值域为，求当时函数的值域.

Answer 1

（本题满分18分，第1小题满分6分，第2小题满分6分，第3小题

满分6分）

已知函数，如果存在给定的实数对（），使得恒成立，则称为“S-函数”.

（1）判断函数是否是“S-函数”；

（2）若是一个“S-函数”，求出所有满足条件的有序实数对；

（3）若定义域为的函数是“S-函数”，且存在满足条件的有序实数对和，当时，的值域为，求当时函数的值域.

解：（1）若是“S-函数”，则存在常数使得(a+x)(a-x)=b.

即x²=a²-b时，对xÎR恒成立. 而x²=a²-b最多有两个解，矛盾.

因此不是 “S-函数”.……………………………………………………3分

若是“S-函数”，则存在常数a,b使得，

即存在常数对（a, 3^2a）满足.

因此是“S-函数”.……………………………………………………6分

（2）是一个“S-函数”，设有序实数对（a,b）满足.

则tan(a-x)tan(a+x)=b恒成立.

当a=时，tan(a-x)tan(a+x)= -cot²(x)不是常数.……………………7分

因此，时，

则有.

即恒成立.…………………………………9分

即.

当,时，tan(a-x)tan(a+x)=cot²(a)=1,

因此满足是一个“S-函数”的常数（a, b）=.…12分

(3) 函数是“S-函数”，且存在满足条件的有序实数对和，

于是

即,

……………………………………15分

.……………17分

因此为以2为周期的周期函数.

当时，函数的值域为. ……………………………18分