Question

如图，直角梯形与等腰直角三角形所在的平面互相垂直．∥，，

，．

（1）求证：；

（2）求直线与平面所成角的正弦值；

 

Answer 1

【答案】

（1）取中点，连结，．证得，由四边形为直角梯形，得到，证得平面．推出 ．

（2）直线与平面所成角的正弦值为．

【解析】

试题分析：（1）证明：取中点，连结，．

因为，所以            2分

因为四边形为直角梯形，

，，

所以四边形为正方形，所以．     4分

所以平面．   

所以 ．            6分        

（2）解法1：因为平面平面，且

所以BC⊥平面                          8分

则即为直线与平面所成的角               9分

设BC=a，则AB=2a，，所以

则直角三角形CBE中，          。11分

即直线与平面所成角的正弦值为．            。12分

解法2：因为平面平面，且 ，

所以平面，所以．

由两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系． 因为三角形为等腰直角三角形，所以，设，

则．

所以 ，平面的一个法向量为．

设直线与平面所成的角为，

所以 ，           

即直线与平面所成角的正弦值为．（参照解法1给步骤分）     12分

考点：本题主要考查立体几何中的垂直关系，角的计算。

点评：典型题，立体几何题，是高考必考内容，往往涉及垂直关系、平行关系、角、距离及体积的计算。在计算问题中，有“几何法”和“向量法”。利用几何法，要遵循“一作、二证、三计算”的步骤，利用向量则能简化证明过程。本题给出了两种解法，便于比较借鉴。