Question

如下图，把边长为1的正方形沿对角线折起得到三棱锥，是边上一点．

（Ⅰ）求的取值范围；

（Ⅱ）当取最小值时，证明：平面；

（Ⅲ）若，求二面角的余弦值．

Answer 1

解：（Ⅰ）设在∆DBC中，边BC上的高为h，则

         又依题意可求得

∴  

（Ⅱ）若DO取最小值，则DO⊥BC 

       ∵

∴O为BC中点，故AO⊥BC 

又，∴平面          

（Ⅲ）解法1：作AE⊥DC，垂足为E，设O为BC中点，连结OE

∵，∴△DAC是等边三角形

∴E为DC中点，∴OE∥DB

    ∴OE⊥DC，∴∠AEO为所求二面角的平面角   

   ∵

    ∴，∴AO⊥OE

    ∴                 

解法2：∵，，两两垂直

以O为原点，分别为轴的正方向建立空间直角坐标系，

则各点坐标如下：，

，        

设平面ACD的一个法向量为，则  即   

 令  得到   又因为平面BCD，所以平面BCD的一个法向量为，                             

设二面角的平面角为，则