Question

甲、乙、丙三人射击同一目标，各射击一次，是否击中是相互独立的．将甲、乙、丙各自击中目标依次记为事件A，B，C，它们的对立事件分别记为

.

A

，

.

B

，

.

C

．若P(A)=

3

5

，P(ABC)=

1

5

，P(

.

A

 

.

B

 

.

C

)=

1

15

，且P（B）＞P（C）．
（Ⅰ） 求至少有一人击中目标的概率；
（Ⅱ） 求P（B）、P（C）的值．

Answer 1

分析：（I）根据至少有一人击中目标的对立事件为三人都不击中，代入对立事件概率减法公式，即可得到答案；
（II）由已知中P(A)=

3

5

，P(ABC)=

1

5

，P(

.

A

 

.

B

 

.

C

)=

1

15

，根据概率乘法公式，我们构造出关于P（B），P（C）的方程组，解方程组即可得到P（B）、P（C）的值．

解答：解：（Ⅰ）至少有一人击中目标的对立事件为三人都不击中，
故所求概率P=1-P(

.

A

 

.

B

 

.

C

)=1-

1

15

=

14

15

…（5分）
（II）∵P(A)=

3

5

，P(ABC)=

1

5

，P(

.

A

 

.

B

 

.

C

)=

1

15

，
∴

3

5

•P（B）•P（C）=

1

5

（1-

3

5

）•[1-P（B）]•[1-P（C）]=

1

15

即P（B）•P（C）=

1

3

=

2

6

P（B）+P（C）=

7

6

即P（B），P（C）是方程6x²-7x+2=0的两根，又P（B）＞P（C）．
P（B）=

2

3

，P（C）=

1

2

点评：本题考查的知识点是对立事件概率减法公式，相互独立事件的概率乘法公式，根据题意分析事件与事件之间的互斥、对立关系，分析一个事件是分类的还是分步的，是解答此类问题的关键．