Question

有一种舞台灯，外形是正六棱柱，在其每一个侧面上安装5只颜色各异的彩灯，假若每只灯正常发光的概率为∴．若一个面上至少有3只灯发光，则不需要维修，否则需要更换这个面．假定更换一个面需要100元，用ξ表示维修一次的费用．
（1）求恰好有2个面需要维修的概率；
（2）写出ξ的分布列，并求ξ的数学期望．

Answer 1

解：（Ⅰ）解：（Ⅰ）因为一个面不需要维修的概率为，所以一个面需要维修的概率为．
因此，六个面中恰好有2个面需要维修的概率为．
（Ⅱ）因为ξ～，又，，，，，，，
所以维修一次的费用ξ的分布为：

ξ	0	100	200	300	400	500	600
P

…（12分）
因为ξ～，所以元．
分析：（Ⅰ）先求出一个面不需要维修的概率，从而得到一个面需要维修的概率．由此能够求出六个面中恰好有2个面需要维修的概率．
（Ⅱ）由ξ～，知，，，，，，，由此能得到维修一次的费用ξ的分布和ξ的数学期望．
点评：本题考查离散型随机变量的数学期望和方差，解题时要注意二项分布的合理运用．