Question

【题目】设数列的首项，且，，．

（Ⅰ）证明：是等比数列；

（Ⅱ）若，数列中是否存在连续三项成等差数列？若存在，写出这三项，若不存在说明理由．

（Ⅲ）若是递增数列，求的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）成等差数列（3）

【解析】

（I）由，根据等比数列的定义可得结果；（II）利用（I）可得，进而得到，若中存在连续三项成等差数列，则必有，解出即可；(III )如果成立，可得，对分奇数、偶数两种情况讨论，即可得出的取值范围．

（Ⅰ）因为，且，

所以数列是首项为，公比为的等比数列；

（Ⅱ）由（Ⅰ）知是首项为，公比为的等比数列．

∴

若中存在连续三项成等差数列，则必有，

即

解得，即成等差数列．

（Ⅲ）如果成立，即对任意自然数均成立．

化简得

当为偶数时，，因为是递减数列，

所以，即；

当为奇数时，，因为是递增数列，

所以，即；

故的取值范围为．