Question

如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，BC⊥侧面AA₁C₁C，AC=BC=1，CC₁=2，∠CAA1=

π

3

，D、E分别为AA₁、A₁C的中点．
（Ⅰ）求证：A₁C⊥平面ABC；
（Ⅱ）求平面BDE与平面ABC所成锐二面角的余弦值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由线面垂直的性质可得 BC⊥A₁C，由勾股定理可得AC⊥A₁C，从而证得 A₁C⊥平面ABC．
（Ⅱ）如图，建立空间直角坐标系，求出两个平面的法向量的坐标，求出法向量夹角的余弦值，再把余弦值取绝对值，即得平面BDE与ABC所成锐二面角的余弦值．

解答：解：（Ⅰ）证明：∵BC⊥侧面AA₁C₁C，A₁C?面AA₁C₁C，∴BC⊥A₁C．
在△AA₁C中，AC=1，AA1=C1C=2，∠CAA1=

π

3

，
由余弦定理得A1C2=AC2+A

A

1 2

-2AC•AA1cos∠CAA1=12+22-2×1×2×cos

π

3

=3，
所以A1C=

3

．故有AC²+A₁C²=AA₁²，所以，AC⊥A₁C，而AC∩BC=C，∴A₁C⊥平面ABC．
（Ⅱ）如图，以C为空间坐标系的原点，分别以CA，CA₁，CB所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
则C(0，0，0)，B(0，0，1)，A(1，0，0)，A1(0，

3

，0)，
由此可得：D(

1

2

，

3

2

，0)，E(0，

3

2

，0)

BD

=(

1

2

，

3

2

，-1)，

BE

=(0，

3

2

，-1)．
设平面BDE的法向量为

n

=(x，y，z)，则有

n • BD =0 n • BE =0

，得

1 2 x+ 3 2 y-z=0 3 2 y-z=0

．
令z=1，则x=0，y=

2

3

，∴

n

=(0，

2

3

，1)是平面BDE的一个法向量，∵A₁C⊥平面ABC，
∴

CA1

=(0，

3

，0)是平面ABC的一个法向量，
∴cos＜

n

，

CA1

＞=

n • CA1

| n || CA1 |

=

2 7

7

，
所以，平面BDE与ABC所成锐二面角的余弦值为

2 7

7

．

点评：本题考查证明线线垂直、线面垂直的方法，求二面角的平面角的大小，求出二面角的两个面的法向量的坐标是解题
的关键和难点．