Question

在三棱锥A－BCD中，∠BAC＝∠BAD＝∠DAC＝，AC＝AD，且AB∶AC＝3∶2．(1)求证：二面角A－CD－B为直二面角；(2)设CD＝a，求点C到平面ABD的距离．

Answer 1

答案：
解析：

解 　　(1)在△ABC和△ABD中，AC＝AD，∠BAC＝∠BAD＝，AB＝AB，∴△ABC≌△ABD，于是BC＝BD，取CD的中点M，连结AM，BM，则CD⊥BM，CD⊥AM，∴CD⊥平面ABM，∠AMB是二面角A－CD－B的平面角．∵AB∶AC＝3∶2，设AC＝2b，则AD＝2b，AB＝3b，BD＝BC＝．又△ACD是正三角形，∴CD＝2b，AM＝＋，∴∠AMB＝，即二面角A－CD－B为直二面角． 　　说明　由于直接求点C到平面ABD的距离有一定的困难，因此通过求三棱锭的体积间接地求C到平面ABD的距离，这是求点到平面距离的一种常用方法．