Question

如图所示的多面体中，正方形BB₁C₁C所在平面垂直平面ABC，△ABC是斜边的等腰直角三角形，B₁A₁∥BA，．
（1）求证：C₁A₁⊥平面ABB₁A₁；
（2）求直线BC₁与平面AA₁C₁所成的角的正弦值．

Answer 1

【答案】分析：解法1：（1）证明C₁A₁⊥平面ABB₁A₁，利用线面垂直的判定定理，只需证明A₁C₁⊥A₁O，A₁C₁⊥AB；
（2）作BD⊥直线AA₁于D，连接C₁D，∠BC₁D即为直线BC₁与平面AA₁C₁所成的角，再利用正弦函数，可求直线BC₁与平面AA₁C₁所成的角的正弦值；
解法2：（1）C为原点，以CA为x轴建立空间直角坐标系，用坐标表示点与向量，利用数量积为0证明垂直关系，即可证得线面垂直；
（2）求出面A₁C₁C的法向量，，利用向量的数量积公式即可求解．
解答：解法1：（1）证明：取AB的中点O，连接A₁O，OC．
∵AC=BC，∴CO⊥AB，
∵四边形A₁OBB₁为平行四边形，∴
∵，∴
又由CC₁⊥面ABC知CC₁⊥CO，∴四边形A₁OCC₁为矩形，
∴A₁C₁⊥A₁O，A₁C₁⊥AB…（4分）
又∵A₁O∩AB=C，∴C₁A₁⊥平面ABB₁A₁…（6分）
（2）解：作BD⊥直线AA₁于D，连接C₁D．
由（1）知平面AA₁C₁⊥平面ABB₁A₁，从而BD⊥平面AA₁C₁，
∴∠BC₁D即为直线BC₁与平面AA₁C₁所成的角．…（8分）
∵，∴，
于是，∴
∴，
∴直线BC₁与平面AA₁C₁所成的角的正弦值为．…（12分）
解法2：CA，CB，CC₁两两垂直，且CA=CB=CC₁=1，以C为原点，以CA为x轴建立空间直角坐标系如图，
则，
所以，，，．…（2分）
（1）证明：∵，，
∴C₁A₁⊥AA₁，C₁A₁⊥AB，
又∵AA₁∩AB=A，
∴C₁A₁⊥平面ABB₁A₁…（6分）
（2）设面A₁C₁C的法向量为，
由，可得，
令x=1，则…（8分）
又，
设直线B证明C₁与平面AA₁C₁所成的角为θ，则．…（12分）
点评：本题考查线面垂直，考查线面角，两法并用，解题的关键是掌握线面垂直的判定，作出线面角，正确构建空间直角坐标系，利用向量方法解决立体几何问题．