Question

如图，在长方体AC₁中，AB=BC=2，AA1=

2

，点E、F分别是面A₁C₁、面BC₁的中心．以D为坐标原点，DA、DC、DD₁所为直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，试用向量方法解决下列问题：
（1）求异面直线AF和BE所成的角；
（2）求直线AF和平面BEC所成角的正弦值．

Answer 1

分析：（1）建立空间直角坐标系，求出A、F、B、E、C的坐标，求出

AF

•

BE

，即可求异面直线AF和BE所成的角；
（2）求出

AF

，平面BEC的一个法向量，利用cos＜

AF

，

n

＞=

AF • n

| AF |•| n |

，求直线AF和平面BEC所成角的正弦值．

解答：解：（1）以D为坐标原点，DA为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴，建立空间直角坐标系，A（2，0，0），F（1，2，

2

2

），
B（2，2，0），E（1，1，

2

），C（0，2，0）．
∴

AF

=(-1，2，

2

2

)，

BE

=(-1，-1，

2

)，…（4分）
∴

AF

•

BE

=1-2+1=0…（6分）
所以AF和BE所成的角为90°．…（7分）
（2）设平面BEC的一个法向量为

n

=(x，y，z)，
又 

BC

=(-2，0，0)，

BE

=(-1，-1，

2

)，
则：

n

•

BC

=-2x=0，

n

•

BE

=-x-y+

2

z=0．
∴x=0，令z=1，则：y=

2

，∴

n

=（0，

2

，1）．…（10分）
∴cos＜

AF

，

n

＞=

AF • n

| AF |•| n |

=

5 2 2

22 2 × 3

=

5 33

33

．…（12分）
设直线AF和平面BEC所成角为θ，则：Sinθ=

5 33

33

．
即 直线AF和平面BEC所成角的正弦值为

5 33

33

．…（14分）

点评：本题考查空间向量的数量积的应用，异面直线所成的角的求法，直线与平面所成角的求法，考查计算能力．