题目内容
已知椭圆C：
（
）的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形.
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）设F为椭圆C的左焦点，T为直线
上任意一点，过F作TF的垂线交椭圆C于点P，Q.
（i）证明：OT平分线段PQ（其中O为坐标原点）；
（ii）当
最小时，求点T的坐标.
(1) 
；（2）
解析试题分析：（1）因为焦距为4，所以
，又
，由此可求出
的值，从而求得椭圆的方程.（2）椭圆方程化为
.设PQ的方程为
，代入椭圆方程得：
.（ⅰ）设PQ的中点为
，求出
，只要
，即证得OT平分线段PQ.（ⅱ）可用
表示出PQ，TF可得：
.
再根据取等号的条件，可得T的坐标.
试题解答：（1），又
.
（2）椭圆方程化为.
（ⅰ）设PQ的方程为，代入椭圆方程得：.
设PQ的中点为，则
又TF的方程为
，则得
，
所以
，即OT过PQ的中点，即OT平分线段PQ.
（ⅱ）
，又
，所以
.
当
时取等号，此时T的坐标为
.
【考点定位】1、椭圆的方程；2、直线与圆锥曲线；3、最值问题.
练习册系列答案
相关题目
，过点
作直线与抛物线交于两点
,
，过
分别作抛物线的切线，两切线的交点为
.
的值；
面积的最小值.
·
＝0，设P为弦AB的中点．
，且其三个顶点均在抛物线E：x2＝2py(p>0)上．
为任何实数，直线
与双曲线
恒有公共点.
的离心率
的取值范围；
过双曲线
，与双曲线交于
两点，并且满足
，求双曲线
的一个焦点为
，离心率为
.
的标准方程；
为椭圆
到椭圆
分别是椭圆
的左右焦点，
是
上一点且
与
轴垂直，直线
与
．
的斜率为
，求
轴上的截距为
，且
，求
．
中，点
到点
的距离比它到
轴的距离多1，记点
.
的直线
过定点
，求直线
上的点M分别向C的准线和x轴作垂线，两条垂线及C的准线和x轴围成边长为4的正方形，点M在第一象限.
面积的最大值.