Question

如图，等边△ABC与直角梯形ABDE所在平面垂直，BD∥AE，AE⊥AB，BC=BD=2AE=2，O为AB的中点.

(Ⅰ)证明：CO⊥DE；

(Ⅱ)求二面角C-DE-A的大小.

Answer 1

答案：方法—：(Ⅰ)证明：因△ABC为等边三角形,且O为AB中点

∴CO⊥AB又∵平面ABDE⊥平面ABC  ∴CO⊥平面ABDE

∵DE平面ABDE  ∴CO⊥DE 

(Ⅱ)解：过O作OK⊥DE于K,连接CK,则由三垂线定理得

CK⊥ED  ∴所求二面角的平面角为∠OKC

在正三角形ABC中可求得CO=,在直角梯形ABDE中可求得

KO=,tan∠OKC=；所以所求二面角的大小为arctan 

方法二：以AB的中点O为原点建立直角坐标系(如图),

则A(0,-1,0),B(0,1,0),C(,0,0),D(0,1,2),E(0,-1,1),

(Ⅰ)证明：=(,0,0),=(0,-2,-1),∵=0,  ∴CO⊥DE,

(Ⅱ)解：显然,面ABDE的一个法向量m=(1,0,0),设面DCE的一个法向量为n=(x,y,z),则

由n⊥得x+y-z=0,由n⊥得2y+z=0,

解得n=(,1,-2),|cos〈m,n〉|=所以所求二面角的大小为arccos.