Question

（本小题满分12分）  
设，  ．
（1）当时，求曲线在处的切线方程；
（2）如果存在，使得成立，求满足上述条件的最大整数；
（3）如果对任意的，都有成立，求实数的取值范围．

Answer 1

（1）
（2）4
（3）

解：（1）当时，，，
，，
所以曲线在处的切线方程为；         2分
（2）存在，使得成立
等价于：，
考察，，

		递减	极（最）小值	递增

   
由上表可知：，
，
所以满足条件的最大整数；                        6分
（3）对任意的，都有成立
等价于：在区间上，函数的最小值不小于的最大值，
由（2）知，在区间上，的最大值为。
，下证当时，在区间上，函数恒成立。
当且时，，
记，，  
当，；当，
，
所以函数在区间上递减，在区间上递增，
，即，    
所以当且时，成立，
即对任意，都有。                12分
（3）另解：当时，恒成立
等价于恒成立，
记，，  。
记，，由于，
,  所以在上递减，
当时，，时，，
即函数在区间上递增，在区间上递减，
所以，所以