Question

已知函数．
（1）若函数在时取得极值，求实数的值；
（2）若对任意恒成立，求实数的取值范围．

Answer 1

（1）；（2）.

试题分析：（1）先求导函数，进而根据题中条件得出，从可即可求解出的值，注意，根据函数在某点取得极值去求参数的值时，往往必须进行检验，也就是将所求得的的值代回原函数，看看是否真的在该点处取得极值，如果不是必须舍去，如果是则保留；（2）先将对任意恒成立等价转化为在恒成立，进而求出导函数并进行因式分解得到，进而分、两类分别确定的单调性，随之确定，然后分别求解不等式，解出的取值范围，最后取这两种情况下的的取值范围的并集即可.
（1），依题意有：，即
解得：
检验：当时，
此时：函数在上单调递减，在上单调递增，满足在时取得极值
综上：                               5分
（2）依题意：对任意恒成立等价转化为在恒成立 6分
因为
令得：                      8分
当即时，函数在恒成立，则在单调递增，于是，解得：，此时：            10分
②当即时，函数在单调递减，在单调递增，于是，不合题意，此时：
综上所述：实数的取值范围是        12分.
说明：本题采用参数分离法或者先用必要条件缩小参数范围也可以.