Question

如图，在长方体ABCD—A₁B₁C₁D₁中，AB＝2，BB₁＝BC＝1，E为D₁C₁的中点，连结ED，EC，EB和DB．

(1)求证：ED⊥平面EBC；
(2)求三棱锥E－DBC的体积.

Answer 1

(1)见解析；（2）

解析试题分析：
(1)易得△DD₁E为等腰直角三角形DE⊥EC，BC⊥平面 BC⊥DE，所以DE⊥平面EBC平面DEB⊥平面EBC．
（2）需要做辅助线，取CD中点M，连接EM∥，DCB （这个证明很关键），然后根据公式.
试题解析：
(1)在长方体ABCD－A₁B₁C₁D₁中，AB＝2，BB₁＝BC＝1，E为D₁C₁的中点．
∴△DD₁E为等腰直角三角形，∠D₁ED＝45°．同理∠C₁EC＝45°．
∴，即DE⊥EC．
在长方体ABCD－中，BC⊥平面，又DE平面，
∴BC⊥DE．又，
∴DE⊥平面EBC．又
∴平面DEB⊥平面EBC．

（2）取CD中点M，连接EM，
E为D₁C₁的中点，
∥，且,
又DCB

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考点：线面垂直，三棱锥的体积.