Question

已知函数f（x）=（x-a）²e^x（a≠0）．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）设函数g（x）=f'（x）-f（x），若函数g（x）在x=a处的切线与x轴交于A点．与y轴交于B点，求△ABO的面积．

Answer 1

解：（1）∵f′（x）=（x-a）（x-a+2）e^x，
令f′（x）＞0，得x＜a-2，或x＞a，令f′（x）＜0，得a-2＜x＜a，
∴函数f（x）在（-∞，a-2）上是增函数，在（a-2，a）上是减函数，在（a，+∞）上是增函数；
故单调递增区间为（-∞，a-2），（a，+∞）；单调递减区间为（a-2，a）；
（2）由（1）知g（x）=2（x-a）e^x，g′（x）=（x-a+2）e^x，
k=g′（a）=2e^a，
故函数g（x）在x=a处的切线方程为：y=2e^a（x-a），故点A（a，0），B（0，-2ae^a），
于是，△ABO的面积为S=×|a|×|-2ae^a|=a²e^a．
分析：（1）可求得f′（x）=（x-a）（x-a+2）e^x，令f′（x）＞0，可求其单调递增区间，f′（x）＜0，可求其单调递减区间；
（2）由（1）知g（x）=2（x-a）e^x，g′（x）=（x-a+2）e^x，可求得k=g′（a），从而可得g（x）在x=a处的切线方程，求得函数g（x）在x=a处的切线与两坐标轴的交点，从而可求得△ABO的面积．
点评：本题考查利用导数研究函数的单调性，考查利用导数研究曲线上某点切线方程，属于中档题．