Question

已知函数f(x)=ln(x+1)-ax+

1-a

x+1

（a≥

1

2

）．
（Ⅰ）当曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线与直线l：y=-2x+1平行时，求a的值；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间．

Answer 1

f′(x)=

1

x+1

-a-

1-a

(x+1)2

=

-x(ax+2a-1)

(x+1)2

，x＞-1，（2分）
（I）由题意可得f′(1)=

1-3a

4

=-2，解得a=3，（3分）
因为f（1）=ln2-4，此时在点（1，f（1））处的切线方程为y-（ln2-4）=-2（x-1），
即y=-2x+ln2-2，与直线l：y=-2x+1平行，故所求a的值为3．（4分）
（II）令f'（x）=0，得到x1=

1

a

-2，x2=0，
由a≥

1

2

可知

1

a

-2≤0，即x₁≤0．（5分）
①即a=

1

2

时，x1=

1

a

-2=0=x2
所以，f′(x)=-

x2

2(x+1)2

≤0，x∈(-1，+∞)，（6分）
故f（x）的单调递减区间为（-1，+∞）．（7分）
②当

1

2

＜a＜1时，-1＜

1

a

-2＜0（6分），即-1＜x₁＜0=x₂，
所以，在区间(-1，

1

a

-2)和（0，+∞）上，f′（x）＜0；（8分）
在区间(

1

a

-2，0)上，f′（x）＞0．（9分）
故f（x）的单调递减区间是(-1，

1

a

-2)和（0，+∞），单调递增区间是(

1

a

-2，0)．（10分）
③当a≥1时，x1=

1

a

-2≤-1，
所以，在区间（-1，0）上f'（x）＞0；（11分）
在区间（0，+∞）上f'（x）＜0，（12分）
故f（x）的单调递增区间是（-1，0），单调递减区间是（0，+∞）．（13分）
综上讨论可得：
当a=

1

2

时，函数f（x）的单调递减区间是（-1，+∞）；
当

1

2

＜a＜1时，函数f（x）的单调递减区间是(-1，

1

a

-2)和（0，+∞），单调递增区间是(

1

a

-2，0)；
当a≥1时，函数f（x）的单调递增区间是（-1，0），单调递减区间是（0，+∞）．