题目内容
有一块边长为4的正方形钢板，现对其进行切割、焊接成一个长方体形无盖容器(切、焊损耗忽略不计）.有人应用数学知识作了如下设计:如图(a)，在钢板的四个角处各切去一个小正方形，剩余部分围成一个长方体，该长方体的高为小正方形边长，如图(b).(1)请你求出这种切割、焊接而成的长方体的最大容积V1；
(2)由于上述设计存在缺陷(材料有所浪费），请你重新设计切、焊方法，使材料浪费减少，而且所得长方体容器的容积V2＞V1.
解:(1)设切去正方形边长为x,则焊接成的长方体的底面边长为4-2x,高为x,
∴V1=(4-2x)2·x=4(x3-4x2+4x)(0＜x＜2).
∴V1′=4(3x2-8x+4).
令V1′=0,得x1=
,x2=2(舍去).
而V1′=12(x-
)(x-2),
又当x＜
时，V1′＞0;当
＜x＜2时，V1′＜0,
∴当x=
时，V1取最大值
.
(2)重新设计方案如下:
如图①，在正方形的两个角处各切下一个边长为1的小正方形；如图②，将切下的小正方形焊在未切口的正方形一边的中间；如图③,将图②焊成长方体容器.
新焊长方体容器底面是一长方形，长为3，宽为2，此长方体容积V2=3×2×1=6，显然V2＞V1.
故第二种方案符合要求.
练习册系列答案
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有一块边长为4的正方形钢板，现对其进行切割、焊接成一个长方体形无盖容器（切、焊损耗忽略不计）．有人应用数学知识作了如下设计：如图（a），在钢板的四个角处各切去一个小正方形，剩余部分围成一个长方体，该长方体的高为小正方形边长，如图（b）．
（2）请你判断上述方案是否是最佳方案，若不是，请设计一种新方案，使材料浪费最少，且所得长方体容器的容积V2＞V1.
；
。
的小正方形，剰余部分围成一个长方体，该长方体的高是小正方形的边长．
时，Vl取最大值
，为了材料浪费最少，工人师傅还实践出了其它焊接方法，请写出与（1）的焊接方法更佳（使材料浪费最少，容积比Vl大）的设计方案，并计算利用你的设计方案所得到的容器的容积。