Question

函数f(x)=

3

cos(2x-θ)-sin(2x-θ)(0＜θ＜

π

2

)是偶函数．
（1）求θ；
（2）将函数y=f（x）的图象先纵坐标不变，横坐标缩短为原来的

2

3

倍，再向左平移

π

18

个单位，然后向上平移1个单位得到y=g（x）的图象，若关于x的方程g(x)-

2

m

-1=0在x∈[-

π

6

，

7π

18

]有且只有两个不同的根，求m的范围．

Answer 1

分析：（1）先用辅助角法将函数转化为一个角的一种三角函数，再由其为偶函数求解．
（2）由（1）知f（x）然后严格按照变换要求得到g（x），再将方程g(x)-

2

m

-1=0转化为cos(3x+

π

6

)=

1

m

求解．

解答：解：（1）f(x)=2cos(2x-θ+

π

6

)，
而f（x）为偶函数，则

π

6

-θ=kπ即
∴θ=-kπ+

π

6

，k∈Z
又∵0＜θ＜

π

2

，∴θ=

π

6

（2）f（x）=2cos2x，g(x)=2cos(3x+

π

6

)+1
∴g(x)-

2

m

-1=0可化为cos(3x+

π

6

)=

1

m

y=cos(3x+

π

6

)与y=

1

m

在x∈[-

π

6

，

7π

18

]
1＜m≤2或-2≤m＜-1

点评：本题主要考查辅助角法转化三角函数及三角函数性质，图象变换和用数形结合解决方程根的问题．