Question

已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁中底面边长和侧棱长均为a，侧面A₁ACC₁⊥底面ABC，A₁B=

6

2

a，求异面直线AC与BC₁所成角的余弦值．

Answer 1

分析：先通过平移将两条异面直线平移到同一个起点C₁，得到的锐角∠BC₁A₁就是异面直线所成的角，在三角形BC₁A₁中再利用余弦定理求出此角即可．

解答：解：过点B作BO⊥AC，垂足为点O，则BO⊥侧面ACC₁A₁，连接A₁O，在Rt△A₁BO中，A₁B=

6

2

a，BO=

3

2

a，∴A₁O=

3

2

a．
又AA₁=a，AO=

a

2

．∴△A₁AO为直角三角形，A₁O⊥AC，A₁O⊥底面ABC．
∵A₁C₁∥AC，∴∠BC₁A₁为异面直线AC与BC₁所成的角．
∵A₁O⊥面ABC，AC⊥BO，∴AC⊥A₁B．∴A₁C₁⊥A₁B．
在Rt△A₁BC₁中，A₁B=

6

2

a，A₁C₁=a，
∴BC₁=

10

2

a．∴cos∠BC₁A₁=

10

5

．
∴异面直线AC与BC₁所成角的余弦值为

10

5

．

点评：本小题主要考查异面直线所成的角，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．