题目内容

已知向量a=(cosx，sinx)，b=(cos，-sin)，c=(1，-1)，其中x∈[].

(Ⅰ)求证：(a+b)⊥(a-b)；

(Ⅱ)设函数f(x)=(|a+c|2-3)(|b+c|2-3)，求f(x)的最大值和最小值.

解：(1)a+b=(cosx+cos,sinx-sinx)；

a-b=(cosx-cos,sinx+sinx)； 

(a+b)·(a-b)=(cosx)2-(cos)2+(sinx)2-(sin)2=0 

(a+b)⊥(a-b) 

(Ⅱ)a+c=(cosx+1,sinx-1),

b+c=(cos+1,-sin-1) 

|a+c|2-3+(cosx+1)2+(sinx-1)2-3=2cosx-2sinx  

|b+c|2-3=(cos+1)2+(-sin-1)2-3=2cos+2sin  

f(x)=(|a+c|2-3)(|b+c|2-3)=(2cosx-2sinx)(2cos+2sin)

=4(cosxcos+cosxsin)-(sinxcos-sinxsin)  

=4(cos2x—sinx)=4(1-2sin2x-sinx)=4(-2sin2x—sinx+1)

∴当sinx=时,y最大值=4(-2·+1)=

∴当sinx=1时,y最小值=4(-2·1-1+1)=-8。

练习册系列答案
相关题目
已知向量
a
=(-cosα，1+sinα)，
b
=(2sin2
α
2
，sinα)．
（Ⅰ）若|
a
+
b
|=
3
，求sin2α的值；
（Ⅱ）设
c
=(cosα，2)，求(
a
+
c
)•
b
的取值范围．
已知向量
a
=(cosωx-sinωx，sinωx)，
b
=(-cosωx-sinωx，2
3
cosωx)，其中ω＞0，且函数f(x)=
a
•
b
+λ（λ为常数）的最小正周期为π．
（Ⅰ）求函数y=f（x）的图象的对称轴；
（Ⅱ）若函数y=f（x）的图象经过点(
π
4
，0)，求函数y=f（x）在区间[0，
5π
12
]上的取值范围．
已知向量
a
=(cos
θ
2
，sin
θ
2
)，
b
=(2，1)，且
a
⊥
b
．
（1）求tanθ的值；
（2 ）求
cos2θ
2
cos(
π
4
+θ)•sinθ
的值．
已知向量
a
=(cos(ωx-
π
6
)，  sin(ωx-
π
4
))，  
b
=(sin(
2
3
π-ωx)， sin(ωx+
π
4
))（其中ω＞0）．若函数f(x)=2
a
•
b
-1的图象相邻对称轴间距离为
π
2
．
（Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）求f（x）在[-
π
12
，  
π
2
]上的值域．
已知向量
a
=(cosθ，sinθ)，
b=
(cos2θ-1，sin2θ)，
c
=(cos2θ，sin2θ-
3
)．其中θ≠kπ，k∈Z．
（1）求证：
a
⊥
b
；
（2）设f(θ)=
a
•
c
，且θ∈(0，π)，求f(θ)的值域．

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