Question

（1）在长度为a的线段AB上任意作一点C，求|CB|≤|CA|的概率；
（2）若将长度为a的线段截成三段，则三段长能围成一个三角形的概率有多大．

Answer 1

分析：（1）设AB长度为1，根据题意，做出图形，取AB的中点P，分析易得当C在PB之间时，|CB|≤|CA|成立；由几何概型转化为求线段PB与AB的长度之比，进而计算可得答案；
（2）设三截得的三段长分别为x，y，a-x-y，根据题意，可得可得

0＜x＜a 0＜y＜a x+y＜a

，由三角形的三边关系，可得满足

x+y＞a-x-y x+a-x-y＞y y+1-x-y＞x

，即

x+y＞ a 2 y＜ a 2 x＜ a 2

，求出两个区域的面积，由几何概型知识可以转化为两个区域的面积之比，代入数据可得答案．

解答：解：（1）根据题意，设AB长度为1，如图，取AB的中点P，分析易得当C在PB之间时，|CB|≤|CA|成立；
则其概率为

1 2

1

=

1

2

；
故|CB|≤|CA|的概率为

1

2

；
（2）设三截得的三段长分别为x，y，a-x-y，
可得

0＜x＜a 0＜y＜a x+y＜a

，其面积为

a2

2

，
能构成三角形时，需要满足

x+y＞a-x-y x+a-x-y＞y y+1-x-y＞x

，即

x+y＞ a 2 y＜ a 2 x＜ a 2

，如图
易得其面积为

1

8

，
则所求概率为 P=

1 8

1 2

=

1

4

．
故三段可以构成三角形的概率为

1

4

．

点评：本题主要考查几何概型的应用，如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型．