Question

已知函数，若a，b，c互不相等，且f（a）=f（b）=f（c），则a+b+c的取值范围是（ ）
A．（1，2011）
B．（1，2012）
C．（2，2012）
D．[2，2012]

Answer 1

【答案】分析：由于函数y=sinπx的周期为2，0≤x≤1，故它的图象关于直线x=对称．不妨设0＜a＜b＜c，则a+b=1，c＞1．故有a+b+c＞2．再由 f（a）=f（b）
=f（c）∈[0，1），故有 0≤log₂₀₁₁c＜1，解得c＜2011．综上可得，a+b+c的范围．
解答：解：由于函数y=sinπx的周期为2，0≤x≤1，故它的图象关于直线x=对称．
不妨设0＜a＜b＜c，则a+b=1，c＞1．故有a+b+c＞2．
再由正弦函数的定义域和值域可得 f（a）=f（b）=f（c）∈[0，1]，故有 0≤log₂₀₁₁c＜1，解得c＜2011．
综上可得，2＜a+b+c＜2012，
故选C．
点评：本题主要考查函数的零点与方程的根的关系，体现了转化的数学思想，属于基础题．