题目内容

已知a1，a2∈R+且a1•a2=1，求证：（1+a1）（1+a2）≥4．
分析：欲证明（1+a1）（1+a2）≥4．将不等式的左边展开，结合条件：“a1•a2=1”，利用基本不等式即可得到证明．
解答：证明：∵a1，a2∈R+且a1•a2=1，
∴（1+a1）（1+a2）=1+a1a2+a1+a2=2+a1+a2≥2+2
a1a2
=4
∴命题成立．
点评：本题考查不等式的证明．用到了利用二元均值不等式放缩法和不等式的性质．
练习册系列答案
相关题目
先阅读下列不等式的证法，再解决后面的问题：
已知a1，a2∈R，a1+a2=1，求证a12+a22≥
1
2
，
证明：构造函数f（x）=（x-a1）2+（x-a2）2=2x2-2x+a12+a22
因为对一切x∈R，恒有f（x）≥0，所以△=4-8（a12+a22）≤0，从而得a12+a22≥
1
2
，
（1）若a1，a2，…，an∈R，a1+a2+…+an=1，请写出上述结论的推广式；
（2）参考上述解法，对你推广的结论加以证明．
先阅读下列不等式的证法：
已知a1，a2∈R，a12+a22=1，求证：|a1+a2|≤
2
．
证明：构造函数f（x）=（x-a1）2+（x-a2）2，则f（x）=2x2-2（a1+a2）x+1，因为对一切x∈R，恒有f（x）≥0，所以△=4（a1+a2）2-8≤0，故得|a1+a2|≤
2
．
再解决下列问题：
（1）若a1，a2，a3∈R，a12+a22+a32=1，求证|a1+a2+a3|≤
3
；
（2）试将上述命题推广到n个实数，并证明你的结论．
（I）已知a1，a2∈R，a1+a2=1，求证：a12+a22≥
1
2
；
（II）若a1，a2，…an∈R，a1+a2+…+an=1，求证：a12+a22+…+an2≥
1
n
．
已知a1，a2∈R+且a1•a2=1，求证：（1+a1）（1+a2）≥4．

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