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已知a
1
，a
2
∈R
+
且a
1
•a
2
=1，求证：（1+a
1
）（1+a
2
）≥4．
试题答案
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证明：∵a
1
，a
2
∈R
+
且a
1
•a
2
=1，
∴（1+a
1
）（1+a
2
）=1+a
1
a
2
+a
1
+a
2
=2+a
1
+a
2
≥2+2
a
1
a
2
=4
∴命题成立．
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先阅读下列不等式的证法，再解决后面的问题：
已知a
1
，a
2
∈R，a
1
+a
2
=1，求证a
1
2
+a
2
2
≥
1
2
，
证明：构造函数f（x）=（x-a
1
）
2
+（x-a
2
）
2
=2x
2
-2x+a
1
2
+a
2
2
因为对一切x∈R，恒有f（x）≥0，所以△=4-8（a
1
2
+a
2
2
）≤0，从而得a
1
2
+a
2
2
≥
1
2
，
（1）若a
1
，a
2
，…，a
n
∈R，a
1
+a
2
+…+a
n
=1，请写出上述结论的推广式；
（2）参考上述解法，对你推广的结论加以证明．
已知a
1
，a
2
∈R
+
且a
1
•a
2
=1，求证：（1+a
1
）（1+a
2
）≥4．
先阅读下列不等式的证法：
已知a
1
，a
2
∈R，a
1
2
+a
2
2
=1，求证：|a
1
+
a
2
|≤
2
．
证明：构造函数f（x）=（x-a
1
）
2
+（x-a
2
）
2
，则f（x）=2x
2
-2（a
1
+a
2
）x+1，因为对一切x∈R，恒有f（x）≥0，所以△=4（a
1
+a
2
）
2
-8≤0，故得|a
1
+
a
2
|≤
2
．
再解决下列问题：
（1）若a
1
，a
2
，a
3
∈R，a
1
2
+a
2
2
+a
3
2
=1，求证|a
1
+
a
2
+
a
3
|≤
3
；
（2）试将上述命题推广到n个实数，并证明你的结论．
（I）已知a
1
，a
2
∈R，a
1
+a
2
=1，求证：a
1
2
+a
2
2
≥
1
2
；
（II）若a
1
，a
2
，…a
n
∈R，a
1
+a
2
+…+a
n
=1，求证：a
1
2
+a
2
2
+…+a
n
2
≥
1
n
．
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