Question

已知A，B分别是直线y=x和y=-x上的两个动点，线段AB的长为2，P是AB的中点．
(Ⅰ)求动点P的轨迹C的方程；
(Ⅱ)过点Q(l，0)作直线l（与x轴不垂直）与轨迹C交于M，N两点，与y轴交于点R，若，证明：λ+μ为定值。

Answer 1

解：(Ⅰ)设P（x，y)，A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，
∵P是线段AB的中点，
∴，
∵A，B分别是直线y=x和y=-x上的点，
∴和，
∴，
又，
∴，
∴，
∴动点P的轨迹C的方程为。
(Ⅱ)依题意，直线l的斜率存在，故可设直线l的方程为y=k（x-1），
设M（x₃，y₃），N（x₄，y₄），R(0，y₅)，
则M，N两点坐标满足方程组，
消去y并整理，得，
∴，①    ，②，
∵，
∴，
即，
∴，
∵l不与x轴垂直，
∴，∴，同理，
∴，
将①②代入上式，可得。